Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=18，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E处，则线段AE的长为（  ）

A. 6    B. 7    C. 8    D. 9

Answer

C

【解析】先解直角△ABC，得出BC=AB×cosB=18×=12，AC==6. 再根据旋转的性质得出BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，利用等边对等角以及三角形内角和定理得出∠B=∠CAE，作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∠BCM=∠ACN，解直角△ANC求出AN=AC×cos∠CAN=6×=4，根据等腰三角形三线合一的性质得出AE=2AN=8.

【解析】
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=18，cosB=，

∴BC=AB×cosB=18×=12，AC==6.

∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，

∴△ABC≌△EDC，BC=CD=12，AC=EC=6，∠BCD=∠ACE，

∴∠B=∠CAE.

作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，

∴∠BCM=∠ACN，

∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=6，cos∠CAN=cosB=，

∴AN=AC×cos∠CAN=6×=4，

∴AE=2AN=8.

故答案为：8.