Question

如图，直线l₁的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l₁与x轴交于点D，直线l₂经过点A，B，直线l₁，l₂交于点C．根据图中信息：

（1）求直线l₂的解析表达式；

（2）求△ADC的面积；

（3）在直线l₂上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标；

（4）若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）（6，3）（4） H1(-1，-3), H2(3，3), H3(5，-3)．

【解析】试题分析：（1）设直线l2的解析式为y=kx+b，把A与B的坐标代入求出k与b的值，即可确定出l2的解析式；
（2）由A与D坐标求出AD的长，C纵坐标的绝对值为高，求出面积即可；
（3）根据直线l2上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，得到P纵坐标等于C纵坐标的绝对值，将C纵坐标绝对值代入l2的解析式求出横坐标，确定出P坐标即可；
（4）在坐标平面内存在这样的点H，使以为顶点的四边形是平行四边形，如图所示，分别求出H坐标即可．

试题解析：(1)设直线l2的解析式为y=kx+b，

把代入得：

解得：

则直线l2的解析式为

(2)对于直线l1:y=−3x+3,令y=0,得到x=1,即D(1,0)，

联立得：

解得： ,即C(2,−3)，

∵A(4,0),C(2,−3),D(1,0)，

∴AD=3，C纵坐标的绝对值为3，

则

(3)由题意得到P纵坐标为3，

把y=3代入l2的解析式为得：x=6，

则点P的坐标为(6,3)；

(4)存在，如图所示：

当四边形为平行四边形时,可得此时

当四边形为平行四边形时,过作 轴，过C作CF⊥x轴，

∵△CFD≌△H2EA，

∴H2E=CF=3,AE=DF=1,此时H2(3,3)；

当四边形为平行四边形时,可得 此时

综上,H的坐标为(5,−3)或(−1,−3)或(3,3).