Question

定义：在平面直角坐标系中，过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线.例如：抛物线的伴随直线为直线.抛物线的伴随直线l与该抛物线交于点A、D（点A在y轴上），该抛物线与x轴的交点为B(-1,0)和C（点C在点B的右侧）.

（1）若直线l是y=2，求该抛物线对应的函数关系式.

（2）求点D的坐标（用含m的代数式表示）.

（3）设抛物线的顶点为M，作OA的垂直平分线EF，交OA于点E，交该抛物线的对称轴于点F.

①当△ADF是等腰直角三角形时，求点M的坐标.

②将直线EF沿直线l翻折得到直线GH，当点M到直线GH的距离等于点C到直线EF的距离时，直接写出m的值.

Answer

（1）抛物线的对应的函数关系式为；（2）点D的坐标为；（3）点M的坐标为或；（4）， ， ．

【解析】试题分析：（1）求出A、B的坐标，用待定系数法求解即可；

（2）由抛物线经过点B，得到．将该抛物线配方，得到对称轴是直线，从而得到点D的坐标．

（3）①分三种情况讨论：i）当，且∠AFD=90°时；ii）当，∠AFD=90°时；iii）当时．

②设GH交y轴于G，则GA=AE=EO=，抛物线顶点M为（m， ），由，得到，解方程即可．

试题解析：【解析】
（1）由题意，得A的坐标为．

∵抛物线经过点B（－1，0），∴

解得：

∴该抛物线的对应的函数关系式为．

（2）∵抛物线经过点，∴，∴．

将该抛物线配方，得，∴对称轴是直线，∴点D的坐标为（2m， ）．

（3）①当，且∠AFD=90°时，则△ADF是等腰直角三角形，∴AD=2AE，∴，∴，∴当时， ，∴点M的坐标为（， ）．

当，∠AFD=90°时，则△ADF是等腰直角三角形，∴AD=2AE，∴，∴，∴当时， ，∴点M的坐标为（， ）．

当时，EF>AE．此时△ADF不是等腰直角三角形．

综上所述：点M的坐标为（， ）或（， ）．

②设GH交y轴于G，则GA=AE=EO=，抛物线顶点M为（m， ）．∵，∴，∴，或，解得： 或或．