Question

如图，BD是□ABCD的对角线，AB⊥BD，BD=8cm，AD=10cm，动点P从点D出发，以5cm/s的速度沿DA运动到终点A，同时动点Q从点B出发，沿折线BD—DC运动到终点C，在BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动.过点Q作QM⊥AB，交射线AB于点M，连接PQ，以PQ与QM为边作□PQMN.设点P的运动时间为t(s)（t>0），□PQMN与□ABCD重叠部分图形的面积为S（cm²）.

（1）AP=_______cm（同含t的代数式表示）.

（2）当点N落在边AB上时，求t的值.

（3）求S与t之间的函数关系式.

（4）连结NQ，当NQ与△ABD的一边平行时，直接写出t的值.   

Answer

（10-5t）

【解析】试题分析：（1）直接得出结论即可；

（2）当点N落在边AB上时，四边形PNBQ为矩形，得到△APN∽△ADB，由相似三角形的对应边成比例解答即可；

（3）分三种情况讨论：①当PN在平行四边形内部时，如图2，此时，②当N在AB下方，Q在BD上时，此时；③当N在AB下方，Q在DCD上时，此时．

（4）分三种情况讨论．①当NQ∥AB时，②当AD∥NQ，且Q在BD上时，③当AD∥NQ，且Q在DC上时．

试题解析：【解析】
（1）（10-5t）；

（2）如图①，当点N落在边AB上时，四边形PNBQ为矩形．∵PN∥DB，∴△APN∽△ADB，∴AP：AD=PN：DB，∴（10－5t）：10=8t：8，120t=80，∴．

（3）分三种情况讨论：

a)如图②，过点P作PE⊥BD于点E，则PE=3t．

当时， ．

b)如图③，过点P作PE⊥BD于点E，则PE=3t，设PN交AB于点F，则．

当时， ．

c)如图④，当时，PF=8-4t，FB=3t，PN=DB=QM=8，∴FN=4t，DQ=6(t-1)，∴BM=DQ=6(t-1)．∵∠GBM=∠A，∠DBA=∠GMB，∴△BGM∽△ABD，∴GM：BM=DB：AB，解得：GM=8t-8，∴S=S平行四边形PNMQ-S△FMN-S△BMG=8（9t-6）－×4t×（9t-6）－×（6t-6）（8t-8）=．

综上所述：

（4）分三种情况讨论．

①当NQ∥AB时，如图5，过P作PF⊥BD于F，则PF=3t，DF=4t，PN=FQ=BQ=8t，∴BD=8t+8t+4t=8，解得： ．

②当AD∥NQ，且Q在BD上时，如图6．∵PNQD和PNBQ都是平行四边形，∴PN=DQ=BQ，∴8t+8t=8，解得： ．

③当AD∥NQ，且Q在DC上时，如图7，可以证明当Q与C重合，即直线NQ与直线BC重合时，满足条件，如图8，此时DQ=AB==6，t==2．

综上所述： 或或．