Question

【感知】如图①，△ABC是等边三角形，CM是外角∠ACD的平分线，E是边BC中点，在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF.易证：△AEF是等边三角形（不需要证明）.

【探究】如图②，△ABC是等边三角形，CM是外角∠ACD的平分线，E是边BC上一点（不与点B、C重合），在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF.求证：△AEF是等边三角形.

【应用】将图②中的“E是边BC上一点”改为“E是边BC延长线上一点”，其他条件不变.当四边形ACEF是轴对称图形，且AB=2时，请借助备用图，直接写出四边形ACEF的周长.

        

Answer

【探究】见解析；【应用】

【解析】试题分析：【探究】根据等边三角形的性质和角平分线的性质证明△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再证明∠EAF=60°，即可得到结论；

【应用】先证明△AEF为等边三角形，得到不可能以AE所在的直线为对称轴，只能以CF为对称轴，从而得到∠BAE=90°，以及AE的值，即可得到结论

试题解析：解：【探究】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°，∴∠ACD=120°．∵CM是外角∠ACD的平分线，∴，∴∠B=∠ACF=60°．∵CF=BE，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∠BAE=∠CAF．∵∠BAC=60°，∴∠BAE+∠EAC=∠CAF +∠EAC，∴∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．

【应用】由题意得：△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∠BAE=∠CAF，∴∠FAE=∠BAC=60°，∴△AEF为等边三角形，∴AE=AF=EF，∴不可能以AE所在的直线为对称轴，即以CF为对称轴．∵AB=2，∴AC=CE=2，∴AC=BC=CE，∴∠BAE=90°，∴AE=，∴四边形ACEF的周长为： =．