Question

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，DE⊥BC于E，连AE，FE⊥AE交CD于点F．

（1）求证：△AED∽△FEC；

（2）若AB=2，求DF的值；

Answer

（1）见解析；（2）；（3）

【解析】试题分析：（1）根据条件可以得出∠EFC=∠EAD，∠CEF=∠AED，进而可以证明△AED∽△FEC．

（2）根据条件可以证明A、D、F、B、A四点共圆，由∠BEA=∠FED，推出结论．

（3）设AB=a，CD=b，通过辅助线，利用方程的思想，解决问题．

试题解析：解：（1）∵DE⊥BC，EF⊥AE，∴∠BED=∠CED=90°．∵∠2+∠3=90°，∠2+∠CEF=90°，∴∠CEF=∠3．∵∠AEF=∠ADF=90°，∴∠6+∠4=180°．∵∠5+∠6=180°，∴∠5=∠4，∴△ADE∽△FEC．

（2）∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2．∵AB∥CD，∠ADC=90°，∴∠BAD+∠ADC=180°，∴∠BAD=90°．∵∠BED+∠BAD=180°，∴四边形ABCD四点共圆．∵∠AEF+∠ADF=180°，∴四边形AEFD四点共圆，∴A、B、E、F、D五点共圆．∵∠1=∠2，∴DF=AB=2．

（3）作CN⊥AB交AB的延长线于N，过点E作EG⊥AN垂足为G交CD于H，延长DE交CN于M．∵==2，AB=FD，∴EG=2EH．∵GB∥CH，∴△EGB∽△EHC，∴==2，设EC=a，AB=x，CD=y，则EB=2a．∵∠NCD=∠ADC=∠DAN=90°，∴四边形ADCN是矩形．∵AD=DC，∴四边形ADCN是正方形，∴AN=CN=CD=y，NB=y﹣x．∵∠NCB+∠CMD=90°，∠CMD+∠MDC=90°，∴∠NCB=∠MDC．∵CN=CD，∴△CNB≌△DCM，∴CM=BN=y﹣x，DM=BC=3a．∵∠MCD=∠MEC，∠CME=∠CMD，∴△MCE∽△MDC，∴=，∴=，∴y2﹣xy=3a2①

∵CM2+CD2=MD2，∴（y﹣x）2+y2=9a2②

由①②消去a得x2+xy﹣y2=0

∴x=y，（或x=y舍弃）

∴=，∴=．

故答案为：．