Question

如图，⊙O为正方形ABCD的外接圆，E为弧BC上一点，AF⊥DE于F，连OF、OD．

（1）求证：AF=EF；

（2）若，求sin∠DOF的值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）如图，过B作BG⊥AF于G，连接BE、OB，只要证明四边形BGEF是矩形，△ABG≌△DAF即可解决问题；

（2）作OH⊥BE于H，连接AO，GO．首先证明OH垂直平分线段FG，再证明∠DOF=∠DAF，△FOG是等腰直角三角形即可解决问题；

试题解析：证明：（1）如图，过B作BG⊥AF于G，连接BE、OB．∵AF⊥DE，∴∠AGB=∠AFD=90°，∴∠BAF+∠ABG=90°．∵四边形ABCD是正方形，∴BD为⊙O的直径，AD=AB，∠BAD=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BED=90°，∴∠ABG=∠DAF，∴△ABG≌△DAF，∴BG=AF．∵∠BED=∠BGF=∠AFE=90°，∴四边形GBEF是矩形，∴EF=BG，∴AF=EF；

（2）作OH⊥BE于H，连接AO，GO．

∵OH⊥BE，∴BH=HE，∴OH垂直平分线段BE．∵四边形GBEF是矩形，∴BE=GF，BE∥GF，∴OH垂直平分线段FG，∴OG=OF．∵∠AOD=∠AFD=90°，∴A、D、F、O四点共圆，∴∠DOF=∠DAF，∠OFG=∠ADO=45°，∴△FOG是等腰直角三角形，∴FG=OF．∵EF=BG=AF=2OF，∴AF=2FG，AG=FG=DF，设DF=a，则AF=2a，AD=a，∴sin∠DOF=sin∠DAF==．