Question

在平面直角坐标系中，A（4，0），直线l：y=6与y轴交于点B，点P是直线l上点B右侧的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，∠APQ=90°，当点P的横坐标满足0≤x≤8，则点Q的运动路径长为_____．

Answer

【解析】解：如图，过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点Q作QF⊥BP，垂足为F．

∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF=∠PEO=90°．

∵∠APQ=90°，∴∠EPA=∠FPQ=90°﹣∠APF．

在△PEA和△PFQ中，∵，∴△PEA≌△PFQ（AAS），∴PE=PF，EA=QF，若点P的坐标为（a，6），则PF=PE=6，QF=AE=|4﹣a|，∴点Q的坐标为（a+6，10﹣a）．

∵无论a为何值，点Q的坐标（a+6，10﹣a）都满足一次函数解析式y=﹣x+16，∴点Q始终在直线y=﹣x+16上运动．

当点P的横坐标满足0≤x≤8时，点Q的横坐标满足6≤x≤14，纵坐标满足2≤y≤10，则Q的运动路径长为=8．故答案为：8．