Question

如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y=x²+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，O为坐标原点；

（1）求抛物线的解析式并用配方法求顶点M的坐标；

（2）若抛物线上有一点P，使∠PCB=∠ABC，求P点坐标；

（3）将抛物线y=x²+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，直接写出m的取值范围．

Answer

（1）y=x2﹣x﹣4，（1，﹣）；（2）（2，﹣4）或（﹣6，20）；（3）0＜m＜。

【解析】试题分析：（1）只需运用待定系数法就可求出抛物线的解析式，然后用配方法就可求出顶点M的坐标；

（2）可分点P在x轴的下方和上方两种情况讨论，当点P在x轴下方时，根据抛物线的轴对称性得到点P的坐标；当点P在x轴上方时，直线PC与直线AB平行，可用待定系数法求出直线AB的解析式，然后再根据两平行直线一次项的系数相同，求出直线PC的解析式，然后只需求出直线PC与抛物线的交点坐标，就可解决问题；

（3）根据条件可得新抛物线的顶点M坐标为（1﹣m，﹣1），故点M始终在直线y=﹣1上．设直线y=﹣1与直线AB交于点P，与直线AC交于点Q，由点M在△ABC内可得点M在线段PQ上（不包括端点P、Q），只需求出点P、Q的坐标，就可解决问题．

试题解析：解：（1）∵点A（0，﹣4）、B（﹣2，0）在抛物线y=x2+bx+c上，∴，解得： ，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣4．

∵y=x2﹣x﹣4=（x2﹣2x+1﹣1）﹣4=（x﹣1）2﹣，∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣）；

（2）①点P在x轴的下方，如图1，

∵∠PCB=∠ABC，点B与点C关于对称轴x=1对称，∴点A（0，﹣4）与点P也关于对称轴x=1对称，∴点P的坐标为（2，﹣4）；

②点P在x轴的上方，直线PC记为直线l，如图2，

令y=0，得（x﹣1）2﹣=0，解得：x1=﹣2，x2=4，∴点C的坐标为（4，0）．

设直线AB的解析式为y=kx+t，则有，解得： ，∴直线AB的解析式为y=﹣2x﹣4．

∵∠PCB=∠ABC，∴直线AB∥直线l，∴直线l可设为y=﹣2x+n．∵点C（4，0）在直线y=﹣2x+n上，∴﹣8+n=0，∴n=8，∴直线l的解析式为y=﹣2x+8，解方程组，得或，∴点P的坐标为（﹣6，20）．

综上所述：点P的坐标为（2，﹣4）或（﹣6，20）；

（3）m的取值范围为0＜m＜．

解题过程如下：

由题可得新抛物线顶点M的坐标为（1﹣m，﹣+）即（1﹣m，﹣1）．

设直线AC的解析式为y=px+q，则有，解得： ，∴直线AC的解析式为y=x﹣4．

设直线y=﹣1与直线AB交于点P，与直线AC交于点Q，如图3，

由﹣2x﹣4=﹣1，得：x=﹣，则点P的坐标为（﹣，﹣1）；

由x﹣4=﹣1，得：x=3，则点P的坐标为（3，﹣1）．

∵新抛物线的顶点M（1﹣m，﹣1）在△ABC内，∴点M在线段PQ上（不包括端点P、Q），∴，解得：﹣2＜m＜．

∵m＞0，∴m的取值范围为0＜＜m＜．