Question

如图，在平面直角坐标系中，直线 交x轴于A点，交y轴于B点，点C是线段AB的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C逆时针旋转30°交x轴于点D，再过D点作直线DC₁∥OC，交AB与点C₁，然后过C₁点继续作直线D₁C₁∥DC，交x轴于点D₁，并不断重复以上步骤，记△OCD的面积为S₁，△DC₁D₁的面积为S₂，依此类推，后面的三角形面积分别是S₃，S₄…，那么S₁=_____，若S=S₁+S₂+S₃+…+S_n，当n无限大时，S的值无限接近于_____．

Answer

，

【解析】解：过O作OC0⊥AB于C0，过D作DE⊥OC于E；

由直线AC的解析式可知：

当y=0时，x=3，则OA=3；

当x=0时，y=，则OB=；

故∠OBA=60°，∠OAB=30°；

由于C是Rt△AOB斜边AB的中点，所以OC=CB，则△OBC是等边三角形；

∴∠BOC=60°，∠DOC=∠DCO=30°；

∴OE=CE=；

（1）△ODE中，OE=，∠DOE=30°，则DE=，S△OCD=OC•DE=；

（2）易知：S△AOB=OA•OB=，S△BOC=S△AOB=，S△OBC0=S△OCC0=S△OBC=；

∴S△OC0A=S△OAB﹣S△OBC0=﹣=；

由题意易得：△OC0C、△DCC1、△D1C1D2…都相似，△ODC、△OD1C1、△D1C2D2…也都相似；设△OC0C、△DCC1、△D1C1D2…的面积和为S′，则：

S′：S=：S△OCD==3：2，∴S==×=；

故答案为： ．