Question

如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F.

　　（1）若点F与B重合，求CE的长；（3分）

　　（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长.（5分）

Answer

（1）3；（2）5.

【解析】试题分析：（1）根据题意画出图形，得出矩形ABEC求出BE，即可求出CE；

（2）过D作DM⊥BC于M，得出四边形ABMD是矩形，推出AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12-9=3，设AF=CE=a，则BF=7-a，EM=a-3，BE=12-a，求出∠BFE=∠DEM，∠B=∠DME，证△FBE∽△EMD，得出比例式，求出a即可．

试题解析：（1）当F和B重合时，如图，

∵EF⊥DE，

∵DE⊥BC，

∵∠B=90°，

∴AB⊥BC，

∴AB∥DE，

∵AD∥BC，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴AD=EF=9，

∴CE=BC-EF=12-9=3；

（2）过D作DM⊥BC于M，

∵∠B=90°，

∴AB⊥BC，

∴DM∥AB，

∵AD∥BC，

∴四边形ABMD是矩形，

∴AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12-9=3，

设AF=CE=a，则BF=7-a，EM=a-3，BE=12-a，

∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°，

∴∠FEB+∠DEM=90°，∠BFE+∠FEB=90°，

∴∠BFE=∠DEM，

∵∠B=∠DME，

∴△FBE∽△EMD，

∴，

∴，

a=5，a=17，

∵点F在线段AB上，AB=7，

∴AF=CE=17（舍去），

即CE=5．