Question

在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO、BO、AD、BD. 已知圆O的半径长为5 ，弦AB的长为8．

（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；

（2）如图2，设AC=x， ，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长． 

Answer

（1）2（2）y=（0＜x＜8）（3）或6

【解析】试题分析：

（1）由已知条件易得OD⊥AB，AC=AB=4，结合AO=5，由勾股定理可得OC=3，结合OD=5可得CD=2；

（2）如下图，过点O作OH⊥AB于点H，则由（1）可得OH=3，AH=4，结合AC=x可得CH=，在Rt△HOC中，由勾股定理可得OC=，结合即可得到所求关系式；

（3）若四边形AOBD是梯形，则有OB∥AD或OA∥BD两种情况，①当OB//AD时，如下图，过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E，过点O作OF⊥AD,垂足为点F，则OF=AE，结合S△ABO=AB·OH=OB·AE可得AE= ，然后在Rt△AOF中由勾股定理即可求得AF的长，这样就可由垂径定理求得AD的长了；②当OA//BD时，如下图，过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M，过点D作DG⊥AO，垂足为点G，则由①的方法同理可求得对应的AD的长.

试题解析：

（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，

∴OD⊥AB，AC=AB=4，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，

∴CO=，

∴CD=OD-OC=5-3=2；

（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，则由（1）可得AH=4，OH=3

∵AC=x，

∴CH=，

在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，

∴OC=，

∵，

∴

（3）若四边形AOBD是梯形，则有OB∥AD或OA∥BD两种情况，现分别讨论如下：

①当OB//AD时，如下图，过点A作AE⊥OB交BO延长线于点E，过点O作OF⊥AD,垂足为点F，则OF=AE，

∵S△ABO=AB·OH=OB·AE，

∴AE=

在Rt△AOF中，∵∠AFO=90°，AO=5，

∴AF=，

∵OF过圆心，OF⊥AD，

∴AD=2AF=；

②当OA//BD时，如下图，过点B作BM⊥OA交AO延长线于点M，过点D作DG⊥AO，垂足为点G，

则由①的方法同理可得AD=6；

综上所述AD=或6.