Question

如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E在BC的延长线，联结AE分别交BD、CD于点G、F，且．

（1）求证：AB//CD；

（2）若，BG=GE，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】试题分析：

（1）由AD∥BC易得，结合可得，由此即可得到AB∥CD；

（2）结合已知和（1）中结论易得四边形ABCD是平行四边形，由此可得BC=AD，结合BC2=GD·BD可得，结合∠ADG=∠BDA可得△ADG∽△BDA，从而可得∠DAG=∠ABD，在证∠DAG=∠E，∠E=∠DBC，∠ABD=∠BDC即可得到∠BDC=∠DBC，从而可得BC=CD结合四边形ABCD是平行四边形即可得到结论了.

试题解析：

（1）∵AD∥BC，

∴，

∵,

∴，

∴AB∥CD；

（2）∵AD∥BC，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD，

∵BC2=GD·BD，

∴AD2=GD·BD，即，

又∵∠ADG=∠BDA，

∴△ADG∽△BDA，

∴∠DAG=∠ABD，

∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠BDC，

∵AD∥BC，

∴∠DAG=∠E，

∵BG=GE ，

∴∠DBC=∠E，

∴∠BDC=∠DBC，

∴BC=CD ，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴平行四边形ABCD是菱形.