Question

如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E.

（1）证明△BCM≌△CAN；

（2）∠AEM=        °；

（3）求证DE平分∠AEC；

（4）试猜想AE，CE，DE之间的数量关系并证明.

Answer

（1）证明见解析；（2）60°；（3）证明见解析；（4）ED=EC+AE，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）如图，连接AC．由题意△ABC，△ADC都是等边三角形，根据SAS即可证明△BCM≌△CAN． 

（2）由△BCM≌△CAN，推出∠BCM=∠CAN，推出∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°． 

（3）如图中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．由△DGA≌△DHC，推出DG=DH，由DG⊥AN，DH⊥MC，推出∠DEG=∠DEH．即DE平分∠AEC． 

（4）结论：EA+EC=ED．由（3）可知，∠GED=60°，在Rt△DEG中，由∠EDG=30°，推出DE=2EG，易证△DEG≌△DEH，推出EG=EH，推出EA+EC=EG+AG+EH-CH，由△DGA≌△DHC，推出GA=CH，推出EA+EC=2EG=DE， 

【解析】
（1）如图1中，连接AC． 

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD， 

∵∠ADC=60°，

∴△ACD，△ABC是等边三角形， 

∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°， 

在△BCM和△CAN中， 

， 

∴△BCM≌△CAN． 

（2）如图1中，∵△BCM≌△CAN， 

∴∠BCM=∠CAN， 

∴AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°． 

故答案为60．

（3）如图2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H． 

∵∠AEM=60°， 

∴∠AEC=120°， 

∵∠DGE=∠H=90°， 

∴∠GEH+∠GDH=180°，

∴∠GDH=∠ADC=60°， 

∴∠ADG=∠CDH， 

在△DGA和△DHC中， 

， 

∴△DGA≌△DHC， 

∴DG=DH， 

∵DG⊥AN，DH⊥MC， 

∴∠DEG=∠DEH． 

∴DE平分∠AEC． 

（4）结论：EA+EC=ED．理由如下：

如图2中，由（3）可知，∠GED=60°， 

在Rt△DEG中，∵∠EDG=30°， 

∴DE=2EG， 

易知△DEG≌△DEH， 

∴EG=EH， 

∴EA+EC=EG+AG+EH-CH， 

∵△DGA≌△DHC， 

∴GA=CH， 

∴EA+EC=2EG=DE， 

∴EA+EC=ED．