Question

已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．

（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系________；

（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；

（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．

Answer

（1）∠A+∠C=90°；（2）见解析；（3）105°.

【解析】试题分析：(1)根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； (2)先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等,得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得结论；(3)先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，根据由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC,可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．

试题解析：

（1）如图1，∵AM∥CN，

∴∠C=∠AOB，

∵AB⊥BC，

∴∠A+∠AOB=90°，

∴∠A+∠C=90°，

（2）如图2，过点B作BG∥DM，

∵BD⊥AM，

∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，

又∵AB⊥BC，

∴∠CBG+∠ABG=90°，

∴∠ABD=∠CBG，

∵AM∥CN，

∴∠C=∠CBG，

∴∠ABD=∠C；

（3）如图3，过点B作BG∥DM，

∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，

∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，

由（2）可得∠ABD=∠CBG，

∴∠ABF=∠GBF，

设∠DBE=α，∠ABF=β，则

∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，

∴∠AFC=3α+β，

∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，

∴∠FCB=∠AFC=3α+β，

△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得

（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①

由AB⊥BC，可得

β+β+2α=90°，②

由①②联立方程组，解得α=15°，

∴∠ABE=15°，

∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．