Question

如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．

（1）求证：AB∥CD；

（2）如图2，∠AEF与∠EFC的角平分线相交于点P，直线EP与直线CD交于点G，过点G做EG的垂线，交直线MN于点H．求证：PF∥GH；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，且∠PHK=∠HPK，作∠EPK的平分线交直线MN于点Q．问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出∠HPQ的度数；若变化，请说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）∠HPQ的大小不会发生变化

【解析】试题分析：

（1）由题意可得∠1+∠2=180°，∠1+∠AEF=180°，从而可得∠2=∠AEF，由此可得AB∥CD；

（2）由本题的已知条件结合（1）中所得AB∥CD可证得PF⊥EG，结合GH⊥EG即可得到PF∥GH；

（3）设∠KPH=α，由PF∥GH可得∠FPH=∠PHK，结合∠PHK=∠HPK可得∠FPH=∠KPH=α，这样由PQ平分∠EPK，即可得到∠KPQ= ，从而可得∠HPQ=45°+α﹣α=45°，由此说明∠HPQ的大小不会发生变化．

试题解析：

（1）如图1，∵∠1与∠2互补，

∴∠1+∠2=180°．

又∵∠1+∠AEF=180°，

∴∠2=∠AEF，

∴AB∥CD；

（2）如图2，由（1）知，AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD=180°．

又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，

∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，

∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．

∵GH⊥EG，

∴PF∥GH；

（3）如图3，设∠KPH=α，

∵PF∥GH，

∴∠FPH=∠PHK，而∠PHK=∠HPK，

∴∠FPH=∠KPH=α，

∵PQ平分∠EPK，

∴∠KPQ= ，

∴∠HPQ=45°+α﹣α=45°，

即∠HPQ的大小不会发生变化．