Question

如图，在等腰直角三角形和中，点为它们的直角顶点,当与有重叠部分时：

（1）①连接，如图1，求证： ；

②连接，如图2，求证： ；

（2）当与无重叠部分时：连接,如图3，当， 时，计算四边形面积的最大值，并说明理由.

Answer

(1) ①见解析；②见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）①利用同角的余角相等证出∠ACD＝∠BCE，然后利用“SAS”证明△ACD≌△BCE即可得出结论；

②因为△ACE与△CDB的一条边AC＝BC，所以要证两个三角形的面积相等只要证明AC和BC边上的高相等即可，过点E作EF⊥AC，过点D作DH⊥BC，通过证明△CEF≌△CDH即可得出结论；

（2）设△BCD的BC边上的高为h，同（1）②的方法可得S△ACE＝S△BCD，所以S四边形ABDE＝S△ABC＋S△CDE＋S△ACE＋S△BCD＝＋5h，而h≤CD，故当h＝CD＝2时S四边形ABDE最大，代入h＝2求出最大值即可．

试题解析：

【解析】
（1）①∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∠BCE＋∠BCD＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

又∵AC＝BC，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE；

②如图：作EF⊥AC交AC的延长线于点F，作DH⊥BC于点H，

∵∠FCE＋∠ECH＝90°，∠HCD＋∠ECH＝90°，

∴∠FCE＝∠HCD，

∵∠EFC＝∠DHC＝90°，CE＝CD，

∴△CEF≌△CDH（AAS），

∴EF＝DH，

∵S△ACE＝AC·EF，S△CDB＝BC·DH，AC＝BC，

∴S△ACE＝S△CDB；

（2）设△BCD的BC边上的高为h，

同（1）②的方法可得S△ACE＝S△BCD，

∴S四边形ABDE＝S△ABC＋S△CDE＋S△ACE＋S△BCD＝×52＋×22＋2 S△BCD ＝＋5h，

∵h≤CD，

∴当h＝CD＝2时S四边形ABDE最大，

∴四边形ABDE的面积最大值为＋5×2＝．