Question

小明是个爱探究的学生，在学习完等腰三角形的判定定理之后，对于等腰（如图甲），若,，小明发现，只要作的平分线就可以将分成两个等腰三角形.

(1)你认为小明的发现正确吗？若正确，请给出证明过程；若不正确，请说明理由；

(2)请你对图乙的三角形进行探索，将分成两个等腰三角形，并写出顶角度数；

(3)请你对图丙的三角形进行再探索，将分成三个等腰三角形，并写出顶角度数.

         

Answer

（1）见解析；（2）130°，80°；（3）108°，144°，108°.

【解析】试题分析：（1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝72°，然后根据角平分线定义求出∠1＝∠2＝36°，在△BDC中根据内角和定理求出∠BDC＝72°，再根据等角对等边即可得出结论；

（2）先根据三角形内角和定理求出∠EGF＝105°，然后在∠EGF内作∠MGF＝25°，则∠GME＝50°，根据等角对等边可得△EGM和△FMG都是等腰三角形，根据三角形内角和定理可求得两个三角形顶角的度数；

（3）作∠NPM的平分线，则分成的两个角都等于36°，过N、M作射线，将∠PNM和∠PMN都分成36°和18°的两个角，三条射线相交于点O，则可证明△ONP、△ONM和△OMN都为等腰三角形．

试题解析：

（1）正确．

如图：

在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，

∵∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠C＝72°，

∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝36°，

∴∠3＝∠1＋∠A＝72°，

∴∠1＝∠A，∠3＝∠C，

∴AD＝BD，BD＝BC，

∴△ABD与△BDC都是等腰三角形；

（2）如图乙，等腰△MGF，等腰△GEM的顶角度数分别为130°，80°

（3）如图丙，等腰△OPN，等腰△ONM，等腰△OMP的顶角度数分别为108°，144°，108°．