Question

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.

(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求PC的长．

Answer

（1）AB是⊙O的切线，理由见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）结论：AB是⊙O切线，连接DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要证明∠ADF=∠DCF即可解决问题．

（2）只要证明△PCF∽△PAC，得，设PF=a．则PC=2a，列出方程即可解决问题．

试题解析：（1）AB是⊙O切线．

理由：连接DE、CF．

∵CD是直径，

∴∠DEC=∠DFC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠DEC+∠ACE=180°，

∴DE∥AC，

∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，

∵∠DFC=90°，

∴∠FCD+∠CDF=90°，

∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，

∴∠ADF+∠CDF=90°，

∴∠ADC=90°，

∴CD⊥AD，

∴AB是⊙O切线．

（2）∵∠CPF=∠CPA，∠PCF=∠PAC，

∴△PCF∽△PAC，

∴，

∴PC2=PF•PA，设PF=a．则PC=2a，

∴4a2=a（a+5），

∴a=，

∴PC=2a=．