Question

如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④．上述结论中正确的是(  )

A. ②③    B. ②④    C. ①②③    D. ②③④

Answer

D

【解析】只要证明△ADE≌△ADF，推出AE=EF，DE=DF，推出AD垂直平分线段EF，即可判定②③正确，利用勾股定理即可判定④正确，①不一定成立故错误．

【解析】
∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠DAE=∠DAF，

又∵∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，

∴△ADE≌△ADF，

∴AE=AF，DE=DF，

∴AD垂直平分EF，故②正确，

∵∠AED=∠AFD=90°，

∴当∠EAF=90°时,

∴四边形AEDF是矩形，

∵AE=AF，

∴四边形AEDF是正方形，故③正确，

∵AE2+DF2=EO2+AO2+OD2+OF2，

DE2+AF2=OE2+OD2+OA2+OF2，

∴AE2+DF2=AF2+DE2，故④正确，

∵AD垂直平分EF，

而EF不一定垂直平分AD，故①错误，

故选D.