Question

如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT 平分∠BAD交⊙O于点 T，过 T 作AD的垂线交 A D的延长线于点 C。

（1）求证：CT为⊙O的切线；

（2）若⊙O半径为2，CT＝，求AD的长。

Answer

（1）证明见解析（2）2

【解析】

试题分析：（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT为⊙O的切线；

（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．

试题解析：（1）连接OT

∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA

又∵AT 平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT

∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC

又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT

∴CT为⊙O的切线

（2）过O作OE⊥AD于E，则 E为AD中点

又∵CT⊥AC，∴OE∥CT

∴四边形 OTCE 为矩形

∵CT＝，∴OE＝

又∵OA＝2

∴在 Rt△OAE 中，AE=

∴AD＝2AE＝2