Question

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于C、D两点.已知： ，点B的坐标为．

(1)求该反比例函数的解析式和点D的坐标；

(2)点M在射线CA上，且MA=2AC，求△MOB的面积.

Answer

（1） ，D（0，-1）；（2）

【解析】试题分析：（1）过A作AE⊥x轴于点E，在Rt△AOE中，可根据OA的长求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求反比例函数解析式，进一步可求得B点坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式，则可求得D点坐标；（2）过M作MF⊥x轴于点F，可证得△MFC∽△AEC，可求得MF的长，代入直线AB解析式可求得M点坐标，进一步可求得△MOB的面积．

试题解析：

（1）如图1，过A作AE⊥x轴于E，

在Rt△AOE中，tan∠AOC=，

设AE=a，则OE=3a，

∴OA==a，

∵OA=，

∴a=1，

∴AE=1，OE=3，

∴A点坐标为（﹣3，1），

∵反比例函数y2=（k≠0）的图象过A点，

∴k=﹣3，

∴反比例函数解析式为y2=﹣，

∵反比例函数y2=﹣的图象过B（，m），

∴m=﹣3，解得m=﹣2，

∴B点坐标为（，﹣2），

设直线AB解析式为y=nx+b，把A、B两点坐标代入可得，

解得 ，

∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣1，

令x=1，可得y=﹣1，

∴D点坐标为（0，﹣1）；

（2）由（1）可得AE=1，

∵MA=2AC，

∴，

如图2，过M作MF⊥x轴于点F，则△CAE∽△CMF，

∴，

∴MF=3，即M点的纵坐标为3，

代入直线AB解析式可得3=﹣x﹣1，解得x=﹣6，

∴M点坐标为（﹣6，3），

∴S△MOB=OD•（xB﹣xM）=×1×（+6）=，

即△MOB的面积为．