Question

如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：

①四边形AEGF是菱形；②△HED的面积是1﹣；③∠AFG=112.5°；④BC+FG=．其中正确的结论是（　　）

A. ①②③    B. ①②④    C. ①③④    D. ②③④

Answer

B

【解析】∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，

∵△DHG是由△DBC旋转得到，

∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，

在Rt△ADE和Rt△GDE中，DE=DE，DA=DG，

∴△AED≌△GED，

∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，

∴∠AED=∠AFE=67.5°，

∴AE=AF，同理EG=GF，

∴AE=EG=GF=FA，

∴四边形AEGF是菱形，①正确，

∴∠AFG=67.5°×2=135°，③错误．

根据题意可求得BD=，BG=BD-DG=BD-CD=-1，

在等腰直角三角形EGB中，可求得BE=2-，即可求AE=AB-BE=1-(2-)=-1，

所以AH=AE=-1，即可得△HED的面积是 ,②正确；

由（1）的证明过程可得GF=FA，∠CFD=∠CDF=67.5°，所以CD=CF，即可得AC=CF+AF=CD+FG=，④正确．

综上，正确的结论为①②④．

故选B.