Question

在直角坐标平面内，直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣+bx+c经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．

（1）求上述抛物线的表达式；

（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的余切值；

（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．

Answer

（1）y=﹣x+2；（2）；（3）（﹣，）或（﹣3，2）．

【解析】试题分析：（1）由直线得到A、C的坐标，然后代入二次函数解析式，利用待定系数法即可得；

（2）过点E作EH⊥AB于点H，由已知可得 ，从而可得、的长，然后再根据三角函数的定义即可得；

（3）分情况讨论即可得.

试题分析：（1）由已知得A(-4，0)，C(0，2) ，

把A、C两点的坐标代入得，

，∴ ，

∴ ；

（2）过点E作EH⊥AB于点H，

由上可知B（1，0）， ∵，

∴ ，∴，

∴ ∴ ，

∵ ∴；

（3）∵DF⊥AC ， ∴，

①若，则CD//AO ， ∴点D的纵坐标为2，

把y=2代入得x=-3或x=0（舍去），

∴D(-3，2) ；

②若时，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DG交x轴于点Q，

∵ ，∴，

∴，∴，

设Q(m，0)，则 ， ∴ ， ∴，

易证：∽ ，∴ ，

设D(-4t，3t+2)代入得t=0(舍去)或者，

∴.