Question

如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．

（1）证明：BE=CF．

（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．

（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．

Answer

(1)见解析；（2）；（3）见解析

【解析】试题分析：（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；

（3）当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF-S△AEF，则△CEF的面积就会最大.

试题解析：（1）证明：连接AC，

∵∠1+∠2=60°，∠3+∠2=60°，

∴∠1=∠3，

∵∠BAD=120°，

∴∠ABC=∠ADC=60°

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，

∴△ABC、△ACD为等边三角形

∴∠4=60°，AC=AB，

∴在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF．（ASA）

∴BE=CF．

（2）【解析】
由（1）得△ABE≌△ACF，

则S△ABE=S△ACF．

故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，

是定值．

作AH⊥BC于H点，

则BH=2，

S四边形AECF=S△ABC

=

=

=；

（3）【解析】
由“垂线段最短”可知，

当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．

故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，

正三角形AEF的面积会最小，

又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．

由（2）得，S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF

=﹣=．