Question

（题文）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定即可得出结论；

（2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．

试题解析：（1）证明：连接OE、EC．

∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC=∠BEC=90°．∵D为BC的中点，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2．∵OE=OC，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB．

∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；

（2）由（1）知：∠BEC=90°．在Rt△BEC与Rt△BCA中，∵∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴BE：BC=BC：BA，∴BC2=BE•BA．∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x．∵BC=6，∴62=2x•3x，解得：x=，即AE=，∴AB=，∴AC==，∴⊙O的半径=．