Question

已知二次函数y=﹣x²+bx+c+1。

（1）当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；

（2）若c=﹣b²﹣2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？

（3）若二次函数的图象与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，b＞0，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，求二次函数的表达式．

Answer

（1）对称轴的方程为x=；（2）b=；（3）y=﹣x2+x+1．

【解析】试题分析：（1）二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=，即可得出答案；

（2）二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（），y由二次函数的图象与x轴相切且c=b2﹣2b，得出方程组，求出b即可；

（3）由圆周角定理得出∠AMB=90°，证出∠OMA=∠OBM，得出△OAM∽△OMB，得出OM2=OA•OB，由二次函数的图象与x轴的交点和根与系数关系得出OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2=b，x1x2=﹣（c+1），得出方程（c+1）2=c+1，得出c=0，OM=1，证明△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，得出，得出OB=4OA，即x2=﹣4x1，由x1x2=﹣（c+1）=﹣1，得出方程组，解方程组求出b的值即可．

试题解析：解：（1）二次函数y=﹣x2+bx+c+1的对称轴为x=，当b=1时， =，∴当b=1时，这个二次函数的对称轴的方程为x=．

（2）二次函数y=﹣x2+bx+c+1的顶点坐标为（）．∵二次函数的图象与x轴相切且c=﹣b2﹣2b，∴，解得：b=，∴b为，二次函数的图象与x轴相切．

（3）∵AB是半圆的直径，∴∠AMB=90°，∴∠OAM+∠OBM=90°．∵∠AOM=∠MOB=90°，∴∠OAM+∠OMA=90°，∴∠OMA=∠OBM，∴△OAM∽△OMB，∴，∴OM2=OA•OB．∵二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），∴OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2=b，x1x2=﹣（c+1）．∵OM=c+1，∴（c+1）2=c+1，解得：c=0或c=﹣1（舍去），∴c=0，OM=1．∵二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且满足=，∴AD=BD，DF=4DE，DF∥OM，∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，∴，∴DE=，DF=，∴×4，∴OB=4OA，即x2=﹣4x1．∵x1x2=﹣（c+1）=﹣1，∴，解得： ，∴b=﹣+2=，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+x+1．