Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=AD，DG=DC，E，F分别是BG，AC的中点．

（1）求证：DE=DF，DE⊥DF；

（2）连接EF，若AC=10，求EF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：

（1）由已知条件先证△BDG≌△ADC，再证△BDE≌△ADF即可得到所求结论；

（2）如图，由（1）可知∠ADC＝90°，△DEF是等腰直角三角形， 结合F是AC的中点可得DF=AC=5，这样用勾股定理即可求得EF的长度.

试题解析：

(1)∵AD⊥BC于点D，

∴∠BDG＝∠ADC＝90°.

∵BD＝AD，DG＝DC，

∴△BDG≌△ADC，

∴BG＝AC.

∵E，F分别是BG，AC的中点，

∴DE＝BG，DF＝AC.

∴DE＝DF.

又∵BD＝AD，BE＝AF，

∴△BDE≌△ADF.

∴∠BDE＝∠ADF.

∴∠EDF＝∠EDG＋∠ADF＝∠EDG＋∠BDE＝∠BDG＝90°.

∴DE⊥DF.

(2)如图，连接EF，

∵AC＝10，∠ADC＝90°，

∴DE＝DF＝AC＝5.

又∵∠EDF＝90°，

∴EF＝.