Question

如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：

（1）在第n个图中，第一横行共　   　 块瓷砖，第一竖列共有　   　 块瓷砖；（均用含n的代数式表示）铺设地面所用瓷砖的总块数为　   　（用含n的代数式表示，n表示第n个图形）

（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；

（3）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（2）中，共需要花多少钱购买瓷砖？

（4）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．

Answer

（1）（n+3），（n+2），（n+2）（n+3）；（2）n=20；（3）共花1604元钱购买瓷砖；（4）不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．

【解析】试题分析：（1）第一个图形用的正方形的个数=3×4=12，第二个图形用的正方形的个数=4×5=20，第三个图形用的正方形的个数=5×6=30…以此类推，根据发现的规律可得在第n个图中，第一横行共（n+3） 块瓷砖，第一竖列共有(n+2) 块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为（n+2）（n+3）个；

（2）根据（1）中的结果可得（n+2）(n+3)=506，解方程即可得；

（3）根据（2）得出的结果，求出白瓷砖和黑瓷砖各有多少块，分别乘上它们的单价再相加即可；

（4）先假设黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形，根据黑、白瓷砖数量相等，看是否得到n的整数解即可．

试题解析：（1）第一个图形用的正方形的个数=3×4=12，第二个图形用的正方形的个数=4×5=20，第三个图形用的正方形的个数=5×6=30…以此类推，在第n个图中，第一横行共（n+3） 块瓷砖，第一竖列共有(n+2) 块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为（n+2）（n+3）个，

故答案为：（n+3），（n+2），（n+2）（n+3）；

（2）根据题意得：（n+2）（n+3）=506，

解得n1=20，n2=﹣25（不符合题意，舍去）；

（3）观察图形可知，每﹣横行有白砖（n+1）块，每﹣竖列有白砖n块，因而白砖总数是n（n+1）块，n=20时，白砖为20×21=420（块），黑砖数为506﹣420=86（块），

故总钱数为420×3+86×4=1260+344=1604（元），

答：共花1604元钱购买瓷砖；

（4）根据题意得：n（n+1）=2（2n+3），

解得n=（不符合题意，舍去），

∴不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形．