Question

已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线 AD 交 BC于点 D，过点 D 作 DE⊥AD 交 AB 于点 E，以 AE 为直径作⊙O．

（1）求证：BC 是⊙O 的切线；

（2）若 AC=3，BC=4，求 BE 的长．

（3）在（2）的条件中，求 cos∠EAD 的值．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）

【解析】试题分析：（1）连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；

（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD=r，则BO=5﹣r，由OD∥AC可得出，代入数据即可求出r值，再根据BE=AB﹣AE即可求出BE的长度．

（3）根据三角函数解答即可．

试题解析：（1）证明：连接OD，如图所示．

在Rt△ADE中，点O为AE的中心，∴DO=AO=EO=AE，∴点D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO．又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAO，∴∠ADO=∠CAD，∴AC∥DO．

∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．又∵OD为半径，∴BC是⊙O的切线；

（2）在Rt△ACB中，∵AC=3，BC=4，∴AB=5．设OD=r，则BO=5﹣r．

∵OD∥AC，∴△BDO∽△BCA，∴，即，解得：r=，∴BE=AB﹣AE=5﹣=．

（3）∵△BDO∽△BCA，∴，即，BD=，∴CD=BC﹣BD=，∴AD=，∴cos∠EAD=．