Question

已知O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N．点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E．设点F运动的时间是t秒（t>0）．

（1）求点E的坐标（用t表示）；

（2）在点F运动过程中，当PF=2OE时，求t的值．

（3）当t>1时，作点F关于点M的对称点F′．点Q是线段MF′的中点，连结QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得△QOE与△PMF相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）E（0，1－t）；（2）或；（3）存在：当t＝，t＝，t＝2+时，使得△QOE与△PMF相似．

【解析】试题分析：

（1）连接PM、PN，由已知条件易证△PMF≌△PNE，由此可得NE=MF=t，则可得OE=t-1，结合点E在y轴的负半轴即可得到点E的坐标了；

（2）在Rt△PFM中，易得PF=，结合OE=即可得到方程，解此方程即可求得对应的t的值；

（3）由F(1＋t，0)，F和F′关于点M对称可得F′(1－t，0)，结合点Q是线段MF′的中点可得Q(1－t，0)，然后在1＜t＜2时，分△OEQ∽△MPF和△OEQ∽△MFP两种情况讨论计算可求得对应的t的值；在当t＞2时，分△OEQ ∽△MPF和△OEQ ∽△MFP两种情况讨论计算可求得对应的t的值.

试题解析：

（1）如下图，连结PM，PN．

∵以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N，

∴∠PNE=∠PMF=∠MPN=90°，

∴∠NPE+∠EPM=∠EPM+∠MPF=90°，

∴∠NPE=∠MPF，

又∵PM=PN，

∴△PMF≌△PNE，

∴NE＝MF=t，

∴OE=t-1，

∴E（0，1－t）；

（2）在直角△PMF中， ，

由PF=2OE得 ，

解得或．

（3）存在，理由如下；

∵F(1＋t，0)，F和F′关于点M对称，

∴F′(1－t，0)，

∵点Q是MF′的中点，

∴Q(1－t，0)，

①当1＜t＜2时，如图，有OQ＝1－t，

由（1）得∴NE＝MF＝t，OE＝t－1．

当△OEQ∽△MPF时，

∴ ，

∴ ，

解得，t＝或t＝ (舍去)；

当△OEQ∽△MFP时， ，

∴ ，解得，t＝或t＝ (舍去)；

②当t＞2时，如图，有OQ＝t－1，

由（1）得NE＝MF＝t，OE＝t－1，

当△OEQ ∽△MPF， ，

∴ ，无解；

当△OEQ ∽△MFP时， ；

∴ ，

解得或（舍去）．

综上所述，当t＝，t＝， 时，使得△QOE与△PMF相似．