Question

如图， 是 内一点， 与 相交于 、 两点，且与 、 分别相切于点 、， ．连接 、．

（1）求证： ．

（2）已知 ， ．求四边形 是矩形时 的半径．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：

（1）由AB、AC和⊙O相切于点D、E可得AD=AE，由此可得∠ADE=∠AED，结合DE∥BC，可得∠B=∠C，即可得到AB=AC了；

（2）如下图，连接AO交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OD、OE和DG，设⊙O的半径为r，由已知条件易证BN=3，∠ANB=90°，从而可得AN=4，在证△ADO∽△ANB，由此可得，即从而可得AD= ，则BD= ，再证△BDG∽△BNA可得，即，由此即可解得： .

试题解析：

（1）∵ 与 、 分别相切于点 、，

∴．

∴．

∵，

∴， ．

∴．

∴；

      （2） 如图，连接 ，交 于点 ，延长 交 于点 ，连接OD、 、，设 的半径为 ，

∵ 四边形 是矩形，

∴∠DEG=90°，

∴ 是 的直径．

∵，AN平分∠BAC，

∴∠ANB=90°，

∴在Rt△ABN中可得：AN=4，

∵AB和⊙O相切于点D，

∴∠ADO=∠GDB=90°=∠ANB，

∵∠DAO=∠NAB，

∴△ADO∽△ANB，

∴，即，

∴AD= ，

∵∠GDB=∠ANB=90°，∠B=∠B，

∴△BDG∽△BNA，

∴，即，解得： .

∴四边形 是矩形时 的半径为 ．