Question

定义：在三角形中，把一边的中点到这条边的高线的距离叫做这条边的中垂距．

例：如图①，在△ABC中，D为边BC的中点，AE⊥BC于E，则线段DE的长叫做边BC的中垂距．

（1）设三角形一边的中垂距为d（d≥0）．若d=0，则这样的三角形一定是________，推断的数学依据是________．   

（2）如图②，在△ABC中，∠B=45°，AB=，BC=8，AD为边BC的中线，求边BC的中垂距．

（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4．点E为边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结AC．求△ACF中边AF的中垂距．

Answer

（1）等腰三角形；线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等；（2）1；（3）.

【解析】试题分析：（1）根据线段的垂直平分线的性质即可判断。

（2）如图②中，作AE⊥BC于E．根据已知得出AE=BE，再求出BD的长，即可求出DE的长。

（3）如图③中，作CH⊥AF于H，先证△ADE≌△FCE，得出AE=EF，利用勾股定理求出AE的长，然后证明△ADE∽△CHE，建立方程求出EH即可。

【解析】
（1）等腰三角形；线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等

（2）【解析】
如图②中，作AE⊥BC于E．

在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=45°，AB=3 ，

∴AE=BE=3，

∵AD为BC边中线，BC=8，

∴BD=DC=4，

∴DE=BD﹣BE=4﹣3=1，

∴边BC的中垂距为1

（3）【解析】
如图③中，作CH⊥AF于H．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠EHC=∠ECF=90°，AD∥BF，

∵DE=EC，∠AED=∠CEF，

∴△ADE≌△FCE，

∴AE=EF，

在Rt△ADE中，∵AD=4，DE=3，

∴AE= =5，

∵∠D=EHC，∠AED=∠CEH，

∴△ADE∽△CHE，

∴ = ，

∴ = ，

∴EH= ，

∴△ACF中边AF的中垂距为