Question

已知:如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点、

直线y=ax+a经过点B交x轴于点C.

(1)求AC长；

(2)点D为线段BC上一动点,过点D作x轴平行线分别交OB、AB于点E、F,点G为AF中点,直线EG交x轴于H,设点D的横坐标为t,线段AH长为d(d≠0),求d与t之间的函数关系式；

(3)在(2)的条件下,点K为线段OA上一点,连接EK,过F作FM⊥EK,直线FM交x轴于点M,当KH=2CO,点0到直线FM的距离为时,求点D的坐标。

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Answer

（1）AC长是9 ;（2）d=-2t ;(3)D,

【解析】试题分析：（1）令y=0时，可得到A、C的坐标，从而得到答案；

（2）先直线BC解析式为y=2x+6．表示出，进一步得到x=-2t．再证明ΔEFG≌ΔHAG，得到AH=EF=-2t ．

(3)过A点作PA⊥AC交DF的延长线于R，交MF的延长线于P，作ON⊥FM于N，PM交EK于点Q，则四边形OARE是矩形，可证ΔEKO≌ΔFPR，得到PR=OK=-2t．设OM=m，PA=2t+6-2t=6．分两种情况讨论：①当M点在x轴的负半轴上时，②当M点在x轴的正半轴上时．

试题解析：【解析】
（1）当y=0时，-x+6=0，∴x=6，∴A(6，0) ， ax+a=0，∴a(x+1)=0．∵a≠0，∴x+1=0，∴x=-3 ，C(-3，0)，∴AC=6-(-3)=9，∴AC长是9．

（2）当x=0时，y=6，∴B(0，6)，∴a=6，∴直线BC解析式为y=2x+6．

当x=t时， ．∵DF∥AC， ，∴2t+6=-x+6，∴x=-2t，∴EF=-2t，

∵点G为AF中点，∴AG=GF ．∵DF∥AC，∴∠FEG=∠GHA，∠EGF=∠HGA，∴ΔEFG≌ΔHAG，∴AH=EF=-2t ．

(3)过A点作PA⊥AC交DF的延长线于R，交MF的延长线于P，作ON⊥FM于N，PM交EK于点Q，四边形OARE是矩形，∴ER=OA=6，∴FR=2t+6=OE，可证∠P=∠KEO，∠PRE=∠EOK=90°，∴ΔEKO≌ΔFPR，∴PR=OK．∵KH=2CO=2×3=6，∴PR=OK=-2t．

设OM=m，PA=2t+6-2t=6．分两种情况讨论：

①M点在x轴的负半轴上时．∵，sin∠NMO=，AM=m+6，由勾股定理可求：m1= （不合题意舍去），m2=2，tan∠PMA= ．

②M点在x轴的正半轴上时，AM=6-m与同理可求：m1= （不合题意舍去），m2=，

tan∠PMA= ．