Question

如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE⊥CE，垂足是E，BE交AC于点D，F是BE上一点，AF⊥AE，且C是线段AF的垂直平分线上的点，AF=2，则DF=______.

Answer

3

【解析】解：连接CF，作AG⊥FE于G，过C作CH⊥AF于H．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∵BE⊥EC，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠EBC+∠ACE=45°．∵∠ABE+∠CBE=45°，∴∠ABF=∠ACE．∵∠BAC=∠FAE=90°，∴∠BAF=∠CAE．在△ABF和△ACE中，∵∠BAF=∠CAE，AB=AC，∠ABF=∠ACE，∴△ABF≌△ACE，∴BF=CE，AF=AE，∴△AFE是等腰直角三角形．∵AG⊥FE，∴FG=GE，AG=FG．∵AF=，∴AG=FG=GE=2．设CH与FE交于M点．∵CH⊥AF，C是线段AF的垂直平分线上的点，∴AH=FH=．∵∠AFE=45°，FM=FH=2．∵FG=2，∴M与G重合，即CH过点G．∵CH⊥FA，EA⊥FA，∴CH∥EA．∵AG⊥FE，CE⊥BE，∴AG∥EC，∴四边形AGCE是平行四边形，∴GD=DE=1，∴FD=FG+DG=2+1=3．故答案为：3．