Question

如图，已知一个三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=8，BC=6，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF．（1）如图1，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S_{四边形ECBF}=4S_△EDF，求ED的长；

（2）如图2，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．

①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；

②求EF的长；

（3）如图3，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=2，CE=，求的值．

Answer

（1）2；（2）；（3）．

【解析】试题分析：（1）先利用折叠的性质得到， ≌，则则易得S△ABC=5S△AEF，再证明然后根据相似三角形的性质得到再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；
（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；
②连结AM交EF于点O，如图②，设则先证明 得到解出后计算出再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；
（3）如图③，作作于H，先证明利用相似比得到设，则 再证明利用相似比可计算出则可计算出和，接着利用勾股定理计算出，从而得到的长，于是可计算出的值．

试题解析：（1）∵的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，

∴ ， ≌，

∴

∵S四边形ECBF=

∴S△ABC=5S△AEF，

在Rt 中，∵

∴

∵

∴

即

∴

由折叠知，

（2）①连结AM交EF于点O，如图2，

∵的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，

∴

∵MF∥AC，

∴

∴

∴

∴

∴四边形AEMF为菱形，

②设则

∵四边形AEMF为菱形，

∴EM∥AB，

∴

∴

即

解得

在Rt 中，

∵S菱形AEMF

∴

（3）如图③，作于H，

∵EC∥FH，

∴

∴

∴

∴

设，则

∵FH∥AC，

∴

∴

∴

∴

在Rt 中，

∴

∴