Question

如图，已知抛物线经过原点O和点A，点B(2,3)是该抛物线对称轴上一点，过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连结BO、CA，若四边形OACB是平行四边形.

（1）① 直接写出A、C两点的坐标；② 求这条抛物线的函数关系式；

（2）设该抛物线的顶点为M，试在线段AC上找出这样的点P，使得△PBM是以BM为底边的等腰三角形并求出此时点P的坐标；

（3）经过点M的直线把□ OACB的面积分为1:3两部分，求这条直线的函数关系式.

【答案】（1）① A(4,0)，C(6,3) ；②所求的抛物线函数关系式为；（2）点P的坐标为(,1).

（3）所求直线为：x=2或y=x

【解析】试题分析：（1）①根据点B(2,3)是该抛物线对称轴上一点，得出A点坐标为(4,0)，进而得出AO的长，即可得出BC=AO，求出C点坐标即可；
②根据三点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）首先求出所在解析式，进而得出符合条件的等腰△PBM顶角的顶点P在线段BM的垂直平分线与线段AC的交点上，求出即可；
（3）由条件可知经过点M且把▱OACB的面积分为1:3两部分的直线有两条，分别得出即可．

试题解析：(1)①∵点B(2,3)是该抛物线对称轴上一点，

∴A点坐标为(4,0)，

∵四边形OACB是平行四边形，

∴BC=AO，

∴C点坐标为：(6,3)，

②设所求的抛物线为 则依题意，得

,

 解得：

∴所求的抛物线函数关系式为：

(2)设线段AC所在的直线的函数关系式为 根据题意，得

解得：

∴直线AC的函数关系式为：

∵

∴抛物线的顶点坐标M为(2,−1)，

∴符合条件的等腰△PBM顶角的顶点P在线段BM的垂直平分线与线段AC的交点上，

而BM=4,所以P点的纵坐标为1,把y=1代入中,得

∴点P的坐标为

(3)平行四边形的中心对称性可以得到经过点M且把的面积分为1:3两部分的直线有两条,

(ⅰ)∵▱OACB=OA⋅BD=4×3=12,△OBD的面积

∴直线x=2为所求,

(ⅱ)设符合条件的另一直线分别与x轴、BC交于点

则

∴四边形ACFE的面积

即

∵BC∥x轴，

∴△MDE∽△MBF，

∴

∴

即

∴

∴

设直线ME的函数关系式为 则

解得：  

∴直线ME的函数关系式为

综合(ⅰ)(ⅱ)得,所求直线为：x=2或

【题型】解答题
【结束】
25

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q 分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A﹣B﹣﹣C﹣﹣E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B﹣﹣C﹣﹣E﹣﹣D的方向运动，到点D停止，设运动时间为xs，△PAQ的面积为ycm²，（这里规定：线段是面积为0的三角形）

解答下列问题：

（1）当x=2s时，y=     cm²；当x=s时，y=     cm²．

（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式．

（3）当动点P在线段BC上运动时，求出时x的值．

（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值．

Answer

（1）2；9（2）（2）当5≤x≤9时，y=x2-7x+；当9＜x≤13时， y=-x2+x-35；当13＜x≤14时，y=-4x+56；（3）y=（4）、或

【解析】试题分析：（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2，利用三角形的面积公式直接可以求出y的值，当x=s时，三角形PAQ的高就是4，底为4.5，由三角形的面积公式可以求出其解．

（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式．要分为三种不同的情况进行表示：当5≤x≤9时，当9＜x≤13时，当13＜x≤14时．

（3）可以由已知条件求出，然后根据条件求出y值，代入当5≤x≤9时的解析式就可以求出x的值．

（4）利用相似三角形的性质，相似三角形的对应线段成比例就可以求出对应的x的值．

试题解析：（1）当x=2s时，AP=2，BQ=2，

∴y==2

当x=s时，AP=4.5，Q点在EC上

∴y==9

（2）当5≤x≤9时（如图1）

y==（5+x-4）×4-×5（x-5）-（9-x）（x-4）

y=x2-7x+

当9＜x≤13时（如图2）

y=（x-9+4）（14-x）

y=-x2+x-35

当13＜x≤14时（如图3）

y=×8（14-x）

y=-4x+56；

（3）当动点P在线段BC上运动时，

∵y==×（4+8）×5=8

∴8=x2-7x+，即x2-14x+49=0，解得：x1=x2=7

∴当x=7时，y=

（4）设运动时间为x秒，

当PQ∥AC时，BP=5-x，BQ=x，

此时△BPQ∽△BAC，

故，即，

解得x=；

当PQ∥BE时，PC=9-x，QC=x-4，

此时△PCQ∽△BCE，

故，即，

解得x=；

当PQ∥BE时，EP=14-x，EQ=x-9，

此时△PEQ∽△BAE，

故，即，

解得x=．

综上所述x的值为：x=、或．