Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ=t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．

（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；

（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

Answer

【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形

∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB

∵QE⊥AB，MF⊥BC

∴∠AEQ＝∠MFB＝90°

∴四边形ABFM、AEQD都是矩形

∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE

又∵PQ⊥MN

∴∠EQP＝∠FMN

又∵∠QEP＝∠MFN＝90°

∴△PEQ≌△NFM．

（2）∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t

∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2

由勾股定理，得PQ＝＝

∵△PEQ≌△NFM

∴MN＝PQ＝

又∵PQ⊥MN

∴S＝＝＝t2－t＋

∵0≤t≤2

∴当t＝1时，S最小值＝2．

综上：S＝t2－t＋，S的最小值为2．

【解析】试题分析：（1）由四边形ABCD是正方形得到∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，又由∠EQP=∠FMN，而证得；

（2）分为两种情况：①当E在AP上时，由点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，又由勾股定理求得PQ，由△PEQ≌△NFM得到PQ的值，又PQ⊥MN求得面积S，由t范围得到S的最小值；②当E在BP上时，同法可求S的最小值．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠D=90°，AD=AB，

∵QE⊥AB，MF⊥BC，

∴∠AEQ=∠MFB=90°，

∴四边形ABFM、AEQD都是矩形，

∴MF=AB，QE=AD，MF⊥QE，

又∵PQ⊥MN，

∴∠1+∠EQP=90°，∠2+∠FMN=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠EQP=∠FMN，

又∵∠QEP=∠MFN=90°，

∴△PEQ≌△NFM；

（2）分为两种情况：①当E在AP上时，

∵点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，

∴PA=1，PE=1-t，QE=2，

由勾股定理，得PQ=，

∵△PEQ≌△NFM，

∴MN=PQ=，

又∵PQ⊥MN，

∴S=t2-t+，

∵0≤t≤2，

∴当t=1时，S最小值=2．

②当E在BP上时，

∵点P是边AB的中点，AB=2，DQ=AE=t，

∴PA=1，PE=t-1，QE=2，

由勾股定理，得PQ=，

∵△PEQ≌△NFM，

∴MN=PQ=，

又∵PQ⊥MN，

∴S=t2-t+，

∵0≤t≤2，

∴当t=1时，S最小值=2．

综上：S=t2-t+，S的最小值为2．