Question

如图，正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合），QP与BC交于E，QP延长线与AD交于点F，连接CQ．

（1）①求证：AP=CQ；②求证：PA²=AF•AD；

（2）若AP：PC=1：3，求tan∠CBQ．

Answer

（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）

【解析】整体分析：

(1)①用SAS证明△ABP≌△CBQ;②利用①的结论和△EPC与△EBQ组成的”8”字形证明△APF∽△ABP;(2)结合△ABP≌△CBQ,证∠PCQ=90°,由②可得∠CBQ=∠CPQ，又CQ=AP,根据正切的定义即可求解.

(1)①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，

∵△BPQ是等腰直角三角形，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠PBC+∠CBQ=90°

∴∠ABP=∠CBQ，∴△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ;

②∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=45°，

∵∠PQB=45°，∠CEP=∠QEB，∴∠CBQ=∠CPQ，

由①得△ABP≌△CBQ，∠ABP=∠CBQ

∵∠CPQ=∠APF，∴∠APF=∠ABP，∴△APF∽△ABP，

(本题也可以连接PD，证△APF∽△ADP)

(2)由①得△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ=∠BAC=45°，

∵∠ACB=45°,∴∠PCQ=45°+45°=90°

∴tan∠CPQ=,

由①得AP=CQ,

又AP:PC=1:3，∴tan∠CPQ，

由②得∠CBQ=∠CPQ，

∴tan∠CBQ=tan∠CPQ=.