Question

已知：如图，抛物线y=﹣x²+bx+C经过点B（0，3）和点A（3，0）

（1）求该抛物线的函数表达式和直线AB的函数表达式；

（2）若直线l⊥x轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线AB交于点N，请在备用图上画出符合题意的图形，并求点M与点N之间的距离的最大值或最小值，以及此时点M，N的坐标．

Answer

(1) 抛物线的函数表达式是y=﹣x2+2x+3；直线AB的函数表达式是y=﹣x+3；(2) 点M与点N之间的距离有最大值;点M坐标为（，）点N的坐标为(，)．

【解析】整体分析：

（1）把点B(0，3)和点A(3，0)代入到y=-x2+bx+c和一次函数的一般式中求解；（2）设直线l的横坐标为a，分别用a表示出点M，N的坐标，然后用a表示出MN的长，用配方法即可求出MN的最大值.

解：(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点B(0，3)和点A(3，0)，

解得

抛物线的函数表达式是y=-x2+2x+3;

设直线AB:y=kx+m，根据题意得，解得，

直线AB的函数表达式是y=-x+3;

（2）如图，设直线l的横坐标为a，

则点M的坐标为(a，-a2+2a+3)，点N的坐标是(a，-a+3)，

又点M，N在第一象限，

∴|MN|=-a2+2a+3-(-a+3)=-a2+3a，

又|MN|=-a2+3a=-(a2-3a+)+=，

当a= 时，|MN|有最大值，最大值为，

即点M与点N之间的距离有最大值，

此时点M坐标为(，)，点N的坐标为.