Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=　   　，PD=　   　．

（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；

（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

Answer

（1）8-2t， ．（2）不存在；当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．（3）线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度．

【解析】试题分析：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA=，则可求得QB与PD的值；

（2）易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定▱PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；

（3）设E是AC的中点，连接ME．当t=4时，点Q与点B重合，运动停止．设此时PQ的中点为F，连接EF，由△PMN∽△PQC．利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

试题解析：（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，

∴QB=8-2t，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，

∴∠APD=90°，

∴tanA=，

∴PD= ．

（2）不存在

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10

∵PD∥BC，

∴△APD∽△ACB，

∴，即，

∴AD= ，

∴BD=AB-AD=10- ，

∵BQ∥DP，

∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，

即8-2t= ，解得：t=．

当t=时，PD=，BD=10-，

∴DP≠BD，

∴▱PDBQ不能为菱形．

设点Q的速度为每秒v个单位长度，

则BQ=8-vt，PD= ，BD=10- ，

要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，

当PD=BD时，即=10- ，解得：t=

当PD=BQ，t=时，即，解得：v=

当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．

（3）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．

依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．

设直线M1M2的解析式为y=kx+b，

∴，

解得

，

∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6．

∵点Q（0，2t），P（6-t，0）

∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．

把x=代入y=-2x+6得y=-2×+6=t，

∴点M3在直线M1M2上．

过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．

∴M1M2=2

∴线段PQ中点M所经过的路径长为2单位长度．