Question

如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，

（1）求证：AC²=AB•AD；

（2）求证：CE∥AD；

（3）若AD=4，AB=6，求的值．

Answer

（1）（2）见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；

（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；

（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可得到结论．

试题解析：（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB．∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；

（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA．∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥A D；

（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF．∵CE= AB，∴CE=×6=3．∵AD=4，∴，∴．