Question

如图1，在四边形ABCD中，AB=AD. ∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系.

图1                     图2                    图3

(1)思路梳理

将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合.由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线. 易证△AFG      ，故EF，BE，DF之间的数量关系为        ；

(2)类比引申

如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明.

(3)联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°. 若BD=1，EC=2，则DE的长为        .

Answer

（1）△AFE. EF=BE+DF.（2）BF=DF-BE，理由见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）先根据旋转得： 计算 即点共线，再根据SAS证明△AFE≌△AFG，得EF=FG，可得结论EF=DF+DG=DF+AE；
（2）如图2，同理作辅助线：把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，证明△EAF≌△GAF，得EF=FG，所以EF=DF−DG=DF−BE;
（3）如图3，同理作辅助线：把△ABD绕点A逆时针旋转至△ACG，证明△AED≌△AEG，得，先由勾股定理求的长，从而得结论．

试题解析：(1)思路梳理：

如图1,把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，可使AB与AD重合，即AB=AD，

由旋转得：∠ADG=∠A=，BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，

∴∠FDG=∠ADF+∠ADG=+=，

即点F. D. G共线，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠BAD=，

∵∠EAF=，

∴

∴

∴

在△AFE和△AFG中，

∵

∴△AFE≌△AFG(SAS)，

∴EF=FG，

∴EF=DF+DG=DF+AE；

故答案为：△AFE，EF=DF+AE；

(2)类比引申：

如图2，EF=DF−BE，理由是：

把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，可使AB与AD重合，则G在DC上，

由旋转得：BE=DG，∠DAG=∠BAE，AE=AG，

∵∠BAD=，

∴∠BAE+∠BAG=，

∵∠EAF=，

∴∠FAG=−=，

∴∠EAF=∠FAG=，

在△EAF和△GAF中，

∵

∴△EAF≌△GAF(SAS)，

∴EF=FG，

∴EF=DF−DG=DF−BE;

(3)联想拓展：

如图3,把△ABD绕点A逆时针旋转至△ACG，可使AB与AC重合，连接EG，

由旋转得：AD=AG，∠BAD=∠CAG，BD=CG，

∵∠BAC=，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=，

∴∠ACG=∠B=，

∴∠BCG=∠ACB+∠ACG=+=，

∵EC=2，CG=BD=1，

由勾股定理得：

∵∠BAD=∠CAG,∠BAC=，

∴∠DAG=，

∵∠BAD+∠EAC=，

∴∠CAG+∠EAC==∠EAG，

∴∠DAE=，

∴∠DAE=∠EAG=，

∵AE=AE，

∴△AED≌△AEG，

∴