Question

【新知理解】

如图①，若点、在直线l同侧，在直线l上找一点，使的值最小.

作法:作点关于直线l的对称点，连接交直线l于点，则点即为所求.

【解决问题】

如图②，是边长为6cm的等边三角形的中线，点、分别在、上，则的最小值为         cm;

【拓展研究】

如图③，在四边形的对角线上找一点，使.(保留作图痕迹，并对作图方法进行说明)

Answer

（1）；（2）作图见解析.

【解析】试题分析：（1）作点E关于AD的对称点F，连接PF，则PE=PF，根据两点之间线段最短以及垂线段最短，得出当CF⊥AB时，PC+PE=PC+PF=CF（最短），最后根据勾股定理，求得CF的长即可得出PC+PE的最小值；
（2）根据轴对称的性质进行作图．

方法1：作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，连接BP，则∠APB=∠APD．

方法2：作点D关于AC的对称点D'，连接D'B并延长与AC的交于点P，连接DP，则∠APB=∠APD．

试题解析：（1）【解决问题】
如图②，作点E关于AD的对称点F，连接PF，则PE=PF，

当点F，P，C在一条直线上时，PC+PE=PC+PF=CF（最短），
当CF⊥AB时，CF最短，此时BF=AB=3（cm），
∴Rt△BCF中，CF=（cm），
∴PC+PE的最小值为3cm；
（2）【拓展研究】
方法1：如图③，作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，点P即为所求，连接BP，则∠APB=∠APD．

方法2：如图④，作点D关于AC的对称点D'，连接D'B并延长与AC的交于点P，点P即为所求，连接DP，则∠APB=∠APD．