Question

已知：∠MON=α，点P是∠MON角平分线上一点，点A在射线OM上，作∠APB=180°-α，交直线ON于点B，PC⊥ON于C.

（1）如图1，若∠MON=90°时，求证：PA=PB；

（2）如图2，若∠MON=60°时，写出线段OB，OA及BC之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，若∠MON=60°时，点B在射线ON的反向延长线上时，（2）中结论还成立吗？若不成立，直接写出线段OB，OA及BC之间的数量关系（不需要证明）.

Answer

（1）证明见解析；（2）OA=OB+2BC，理由见解析；（3）不成立，OA=2BC-OB.

【解析】试题分析：（1）作PD⊥OM于点D．由角平分线的性质得到PC=PD．再用ASA证明△APD≌△BPC，即可得到结论；．

（2）结论：OA=OB+2BC．作PD⊥OM于点D．同（1），可证△APD≌△BPC，得到AD=BC．

由△OPD≌△OPC，得到OC=OD，即可得到结论；

（3）不成立，OA=2BC-OB．

试题解析：【解析】
（1）作PD⊥OM于点D．

∵点P在∠MON的角平分线上，且PC⊥ON于C，∴PC=PD．

∵∠MON=90°，∴∠APB=90°，∠CPD=90°，∴∠APD=∠BPC．

又∵∠PDA=∠PCB=90°，∴△APD≌△BPC（ASA），∴AP=BP．

（2）结论：OA=OB+2BC．理由如下：

作PD⊥OM于点D．同（1），可证△APD≌△BPC，∴AD=BC．

由△OPD≌△OPC，得OC=OD，∴OA-AD=OB+BC，得OA=OB+2BC．

（3）不成立，OA=2BC-OB．