Question

（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．

Answer

或．

【解析】由图可知，在△OMN中，∠OMN的度数是一个定值，且∠OMN不为直角. 故当∠ONM=90°或∠MON=90°时，△OMN是直角三角形. 因此，本题需要按以下两种情况分别求解.

(1) 当∠ONM=90°时，则DN⊥BC.

过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)

∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，

∴∠C=45°，

∵BC=20，

∴在Rt△ABC中， ，

∵DE是△ABC的中位线，

∴，

∴在Rt△CFE中， ， .

∵BM=3，BC=20，FC=5，

∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12.

∵EF=5，MF=12，

∴在Rt△MFE中， ，

∵DE是△ABC的中位线，BC=20，

∴，DE∥BC，

∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，

∴，

∴在Rt△ODE中， .

(2) 当∠MON=90°时，则DN⊥ME.

过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)

∵EF=5，MF=12，

∴在Rt△MFE中， ，

∴在Rt△MFE中， ，

∵∠DEO=∠EMF，

∴，

∵DE=10，

∴在Rt△DOE中， .

综上所述，DO的长是或.

故本题应填写： 或.