Question

如图，已知A，B两点的坐标分别为A，B(2，0)，直线AB与反比例函数的图像交与点C和点D（-1，a）．

(1)求直线AB和反比例函数的解析式；

(2)求∠ACO的度数；

(3)将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′，当α为多少度时OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长．

Answer

（1） ， ；（2）∠ACO =30°；（3）AB'= 2．

【解析】试题分析：(1)设直线AB的解析式为，

将A(0，2)，B(2，0)代入解析式中，得

，解得。

∴直线AB的解析式为。

将D（－1， ）代入得， 。

∴点D坐标为（－1， ）。

将D（－1， ）代入中得， 。

∴反比例函数的解析式为。

(2)解方程组得， 。

∴点C坐标为（3， ），

过点C作CM⊥轴于点M，则在Rt△OMC中，

， ，∴，∴。

在Rt△AOB中， =，∴。

∴∠ACO=。

(3)如图，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，

∴= ∠COC′=90°－30°=60°，∠BOB′= =60°。

∴∠AOB′=90°－∠BOB′=30°。

∵∠OAB=90°－∠ABO=30°，∴∠AOB′=∠OAB，

∴AB′= OB′=2．

答：当α为60度时OC′⊥AB，此时线段AB′的长为2。