Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；

（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．

①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；

②若⊙M的半径为，求点M的坐标．

Answer

（1）y=x2﹣x﹣2；（2）；（3）①M（1，﹣2），M′（， ）；②（2，0）或（﹣3，10）．

【解析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，利设出两点法解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；

（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；

（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是﹣2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标；

②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标．

【解析】
（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），

将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），

解得a=1，

∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），

即y=x2﹣x﹣2；

（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，在Rt△POC中，

由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，

解得，x=，

即OP=；

（3）①∵△CHM∽△AOC，

∴∠MCH=∠CAO，

（i）如图1，当H在点C下方时，

∵∠OAC+∠OCA=90°，∠MCH=∠OAC

∴∠OCA+∠MCH=90°

∴∠OCM=90°=∠AOC

∴CM∥x轴

∴yM=﹣2，

∴x2﹣x﹣2=﹣2，

解得x1=0（舍去），x2=1，

∴M（1，﹣2），

（ii）如图1，当H在点C上方时，

∵∠MCH=∠CAO，

∴PA=PC，由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，

设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，

解得k=，

∴y=x﹣2，

由x﹣2=x2﹣x﹣2，

解得x1=0（舍去），x2=，

此时y=×﹣2=，

∴M′（， ），

②在x轴上取一点D，如图（备用图），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=，，

在Rt△AOC中，AC=，

∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，

∴△AED∽△AOC，∴，

解得AD=3，

∴D（2，0）或D（﹣4，0）．

过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图（备用图）

则直线DM的解析式为：y=﹣2x+4或y=﹣2x﹣8，

当﹣2x﹣8=x2﹣x﹣2时，即x2+x+6=0，方程无实数根，

当﹣2x+4=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣6=0，解得x1=2，x2=-3，

∴点M的坐标为（2，0）或（-3，10）．

“点睛”本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的性质，两函数图象交点的求解方法，综合性较强，难度较大，要注意分情况讨论求解．