下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4因式分解的过程.
【解析】
设x2-4x=y,
则原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)
解答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是( )
A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?(填“彻底”或“不彻底”).若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果;
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
【答案】(1)C;(2)不彻底,(x-2)4;(3)(x-1)4.
【解析】试题分析:(1)从二步到第三步运用了完全平方和公式;(2)x2-4x+4可运用完全平方差公式因式分解;(3)设x2-2x=y,将(x2-2x)(x2-2x+2)+1变形成y(y+2)+1的形式,再进行因式分解;
试题解析:
(1)运用了C,两数和的完全平方公式;
(2)不彻底;
(x2-4x+4)2=(x-2)4
(3)设x2-2x=y.
(x2-2x)(x2-2x+2)+1
=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2…………………………7分
=(x2-2x+1)2
=(x-1)4.
【题型】解答题
【结束】
24
乘法公式的探究及应用.
探究问题
图1是一张长方形纸条,将其剪成长短两条后刚好能拼成图2.
(1) (2)
(1)图1中长方形纸条的面积可表示为_______(写成多项式乘法的形式).
(2)拼成的图2阴影部分的面积可表示为________(写成两数平方差的形式).
(3)比较两图阴影部分的面积,可以得到乘法公式:____.
结论运用
(4)运用所得的公式计算:
=________; =________.
拓展运用:
(5)计算:
已知化简(x2+px+8)(x2-3x+q)的结果中不含x2项和x3项.
(1)求p,q的值.
(2)x2-2px+3q是否是完全平方式?如果是,请将其分解因式;如果不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)x2-2px+3q不是完全平方式.理由见解析.
【解析】试题分析:(1)展开,化简,让x2项和x3项系数为0.
(2)把(1)中结论代入,不满足完全平方公式.
试题解析:
解:(1)原式=x4+(-3+p)x3+(q-3p+8)x2+(pq-24)x+8q.
∵结果中不含x2项和x3项,∴
解得
(2)x2-2px+3q不是完全平方式.理由如下:
把代入x2-2px+3q,得x2-2px+3q=x2-6x+3.
∵x2-6x+9是完全平方式,∴x2-6x+3不是完全平方式.
【题型】解答题
【结束】
23
下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4因式分解的过程.
【解析】
设x2-4x=y,
则原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)
解答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是( )
A.提取公因式 B.平方差公式 C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?(填“彻底”或“不彻底”).若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果;
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
(1)先化简,再求值:a(a-2b)+(a+b)2,其中a=-1,b=;
(2)若x2-5x=3,求(x-1)(2x-1)-(x+1)2+1的值.
【答案】(1)原式= 2a2+b2=2+2=4;(2)原式=4.
【解析】试题分析:(1)利用完全平方公式展开,化简,代入求值. (2) 利用完全平方公式展开,化简,整体代入求值.
解:(1)原式=a2-2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2.
当a=-1,b=时,原式=2+2=4.
(2)原式=2x2-3x+1-(x2+2x+1)+1=x2-5x+1=3+1=4.
【题型】解答题
【结束】
22
已知化简(x2+px+8)(x2-3x+q)的结果中不含x2项和x3项.
(1)求p,q的值.
(2)x2-2px+3q是否是完全平方式?如果是,请将其分解因式;如果不是,请说明理由.
计算:(1)992-102×98;
(2)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷x2y.
【答案】(1)-195(2)2xy-2
【解析】试题分析:(1)利用平方差公式,完全平方公式简便计算.
(2)提取公因式,化简.
试题解析:
(1)原式=(100-1)2-(100+2)×(100-2)
=(1002-200+1)-(1002-4)=-200+5=-195.
(2)原式=[x2y(xy-1)-x2y(1-xy)]÷x2y
=2x2y(xy-1)÷x2y=2(xy-1)=2xy-2.
【题型】解答题
【结束】
21
(1)先化简,再求值:a(a-2b)+(a+b)2,其中a=-1,b=;
(2)若x2-5x=3,求(x-1)(2x-1)-(x+1)2+1的值.
如图,郑某把一块边长为a m的正方形的土地租给李某种植,他对李某说:“我把你这块地的一边减少5 m,另一边增加5 m,继续租给你,你也没有吃亏,你看如何”.李某一听,觉得自己好像没有吃亏,就答应了.同学们,你们觉得李某有没有吃亏?请说明理由.
【答案】李某吃亏了,理由见解析.
【解析】试题分析:计算阴影部分面积和原正方形面积作比较.
试题解析:
【解析】
李某吃亏了.理由如下:
∵(a+5)(a-5)=a2-25<a2,
∴李某少种了25 m2地,李某吃亏了.
【题型】解答题
【结束】
20
计算:(1)992-102×98;
(2)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷x2y.
若一个正整数能表示为两个正整数的平方差,则称这个正整数为“智慧数”(如3=22-12,16=52-32,则3和16是智慧数).已知按从小到大的顺序构成如下数列:3,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,19,20,21,23,24,25,…则第2 013个“智慧数”是______.
【答案】2 687
【解析】解析:观察数的变化规律,可知全部“智慧数”从小到大可按每三个数分一组,从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数,归纳可得,第n组的第一个数为4n(n≥2).因为2 013÷3=671,所以第2 013个“智慧数”是第671组中的第3个数,即为4×671+3=2 687.
点睛:找规律题需要记忆常见数列
1,2,3,4……n
1,3,5,7……2n-1
2,4,6,8……2n
2,4,8,16,32……
1,4,9,16,25……
2,6,12,20……n(n+1)
一般题目中的数列是利用常见数列变形而来,其中后一项比前一项多一个常数,是等差数列,列举找规律.后一项是前一项的固定倍数,则是等比数列,列举找规律.
【题型】填空题
【结束】
19
如图,郑某把一块边长为a m的正方形的土地租给李某种植,他对李某说:“我把你这块地的一边减少5 m,另一边增加5 m,继续租给你,你也没有吃亏,你看如何”.李某一听,觉得自己好像没有吃亏,就答应了.同学们,你们觉得李某有没有吃亏?请说明理由.