Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(－2，4)，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连接OA.

(1)求△OAB的面积；

(2)若抛物线y＝－x²－2x＋c经过点A.

①求c的值；

②将抛物线向下平移m个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界)，求m的取值范围(直接写出答案即可)．

Answer

（1）4；（2）①c＝4；②m的取值范围为1＜m＜3.

【解析】（1）根据点A的坐标是（-2，4），得出AB，BO的长度，即可得出△OAB的面积；

（2）①把点A的坐标（-2，4）代入y=-x2-2x+c中，直接得出即可；

②利用配方法求出二次函数解析式即可得出顶点坐标，根据AB的中点E的坐标以及F点的坐标即可得出m的取值范围．

【解析】
（1）∵点A的坐标是（-2，4），AB⊥y轴，

∴AB=2，OB=4，

∴△OAB的面积为：×AB×OB=×2×4=4，

（2）①把点A的坐标（-2，4）代入y=-x2-2x+c中，

-（-2）2-2×（-2）+c=4，

∴c=4，

②∵y=-x2-2x+4=-（x+1）2+5，

∴抛物线顶点D的坐标是（-1，5），

过点D作DE⊥AB于点E交AO于点F，

AB的中点E的坐标是（-1，4），OA的中点F的坐标是（-1，2），

∴m的取值范围是：1＜m＜3．